Setiap nilai dalam sekumpulan data memiliki frekuensi kemunculan yang berbeda-beda; nilai ekstrem biasanya muncul lebih jarang, sedangkan nilai yang mendekati mean lebih sering muncul. Pola ini membentuk distribusi data, yang jika digambarkan dalam grafik seperti poligon frekuensi, akan membentuk kurva. Pada distribusi yang ideal, yaitu distribusi normal, kurva berbentuk lonceng (bell-shaped) dan simetris di sekitar nilai ukuran pemusatan data seperti mean atau median [(Field, 2018; Gravetter & Wallnau, 2017). Namun, pada kenyataannya, data bisa saja miring (skewed) jika nilai-nilai terkonsentrasi di satu sisi, atau memiliki kurtosis jika kurvanya lebih runcing atau lebih datar dari distribusi normal. Pemahaman tentang bentuk distribusi ini penting karena banyak analisis statistik, terutama yang bersifat inferensial, mengasumsikan bahwa data terdistribusi normal. Untuk itu, bagian-bagian berikut akan membahas lebih lanjut mengenai kurva normal, skewness, kurtosis, dan z-score sebagai alat untuk menstandarkan data.
9.1 Kurva Normal
Seperti telah disampaikan sebelumnya, distribusi data dapat dikatakan normal jika kurvanya membentuk lonceng dan simetris. Pada distribusi data yang demikian, frekuensi dari setiap nilai data tersebar secara simetris antara yang terletak di atas tendensi sentral dan yang di bawah tendensi sentral. Data tersebar 50% di atas dan 50% di bawah tendensi sentral, dengan frekuensi yang semakin mengecil pada nilai data yang semakin ekstrem, baik yang kecil maupun yang besar (lihat Gambar 9.1).
Pada kurva normal, tiga pengukuran data terpusat (mean, median, dan modus) berada pada satu titik atau nilai yang relatif sama. Dari Gambar 9.1 dapat lebih terlihat jelas bahwa 50% data tersebar di atas tendensi sentral dan 50% data tersebar di bawah tendensi sentral, di mana semakin jauh dari tendensi sentral maka semakin sedikit frekuensinya.
Untuk menjawab masalah-masalah tertentu, kita perlu mencari besaran frekuensi sebuah nilai atau cakupan nilai berdasarkan sebaran data yang ada. Misalnya, kita ingin memperkirakan ada berapa jumlah mahasiswa yang nilai ujiannya antara 70 dan 85, di mana nilai mean = 80 SD = 5, dan N = 250. Dengan memanfaatkan informasi standar deviasi (s), proporsi frekuensi data pada distribusi normal dapat kita hitung berdasarkan luas area dalam kurva. Gambar 9.2 menunjukkan besaran proporsi frekuensi pada data dilihat dari luas area berdasarkan nilai standar deviasi.
Dari kurva normal yang ditampilkan pada Gambar 3.3, kita dapat mengetahui bahwa setiap belahan kurva dibagi menjadi 4 area berdasarkan standar deviasi, yaitu (1) mean – +/- 1 SD (34,1%), 1 SD – 2 SD (13,6%), 2 SD – 3 SD (2,1%), dan > 3 SD (0,1%). Artinya, proporsi terbanyak dari data adalah nilai-nilai yang mendekati mean, dan sebaliknya, semakin jauh dari mean maka proporsinya semakin kecil, terutama untuk nilai-nilai ekstrem (> +/- 3 SD).
Proporsi frekuensi data dengan nilai antara mean hingga 1 SD di bawah mean adalah sebesar 34,1% dari keseluruhan data, begitu juga dengan yang 1 SD di atas mean. Selanjutnya, jika kita ingin mengetahui proporsi frekuensi data antara mean hingga 2 SD di atas mean, maka kita menjumlahkan proporsi (mean – 1 SD) + (1 SD – 2 SD) = 34,1% + 13,6% = 47,7%.
Dengan demikian, untuk menjawab pertanyaan sebelumnya (proporsi mahasiswa yang memperoleh nilai ujian 70 (X1) – 85 (X2) dengan mean = 80, SD = 5, dan N = 250), maka kita menghitungnya dengan mencari besaran SD dari batas bawah dan atas rentang skor:
X1 - mean = 70 – 80 = -10; karena SD = 5, maka skor 70 = -2SD
X2 - mean = 85 – 80 = 5; karena SD = 5, maka skor 85 = 1SD
Maka, proporsi X1 – X2 = (proporsi -2SD – mean) + (proporsi mean – 1SD)
= (13,6% + 34,1%) + (34,1%)
= 81,8%
Sehingga, jumlah mahasiswa dengan skor antara 70 – 85 = 81,8% × 250 orang = 204 orang (pembulatan).
9.2 Skewness
Data pada sampel yang diambil dari populasi penelitian tidak selalu terdistribusi secara normal. Sebaran yang tidak normal ini seringnya terjadi pada sekumpulan data yang memiliki nilai ekstrem (outlier) yang proporsinya cukup jauh melebihi data yang tersebar secara normal. Besarnya outlier ini membuat sebaran data seolah-olah terpusat di bawah nilai tengah, atau sebaliknya terpusat di atas nilai tengah.
Jika data yang tersebar secara normal membentuk kurva berbentuk lonceng yang simetris, maka data yang tidak normal tersebut bisa membentuk kurva yang miring atau juling (skewed). Arah kemiringan (skewness) kurva bergantung pada besaran frekuensi data yang menyimpang dari nilai tengah (Cumming, 2011). Jika frekuensi nilai yang berada di bawah mean jauh lebih kecil daripada frekuensi nilai di atas mean, maka puncak kurva akan condong ke kanan, yang disebut sebagai skew negatif (Gambar 9.3 (a)). Sebaliknya, jika frekuensi nilai yang berada di bawah mean jauh lebih besar daripada frekuensi nilai di atas mean, maka puncak kurva akan condong ke kiri, yang disebut sebagai skew positif (Gambar 9.3 (b)).
Terdapat dua cara yang umum digunakan untuk mengetahui arah kemiringan (skewness) dari sebuah distribusi data, yaitu dengan (a) menggunakan rumus Pearson, dan (b) membandingkan nilai-nilai ukuran pemusatan data.
Rumus Pearson:
\[ \text{Skewness} = 3 \times \frac{\text{Mean} - \text{Median}}{\text{SD}} \]
Jika hasil penghitungan nilai skewness adalah positif, maka disebut dengan kurva skewed positif. Jika hasil hitungnya negatif, maka disebut dengan kurva skewed negatif. Apabila hasil hitungnya (mendekati) nol, maka disebut dengan kurva normal. Tidak ada angka pasti, seberapa dekat dengan nol dapat disebut sebagai kurva normal, tetapi kesepakatan umum adalah ± 0,5.
Membandingkan nilai ukuran pemusatan data
Jika mean lebih kecil dari median, maka bentuk distribusinya adalah skewed negatif. Sebaliknya, jika mean lebih lebih besar dari median, maka bentuk distribusinya adalah skewed positif. Namun, jika mean, median, dan modus berada pada satu titik yang relatif sama atau berdekatan, maka bentuk distribusi datanya adalah normal (Gambar 9.4).
9.3 Kurtosis
Kurtosis adalah seberapa berbeda bentuk kurva dari kurva normal, dilihat dari seberapa tebal-tipis bagian ekor dari kurva tersebut [(Field, 2018; Howell, 2013). Selain dilihat dari ekor kurva, kurtosis sebenarnya juga menunjukkan seberapa tajam bentuk puncak dari kurva. Terdapat tiga bentuk kurtosis, yaitu normal, ekor panjang (heavy-tailed) dan ekor pendek (light-tailed) (Gambar 9.5).
Kurtosis pada distribusi data yang normal adalah ketika ekor kurva tersebar secara proporsional dan puncak kurva tidak terlalu curam maupun terlalu landai. Jika nilai kurtosis > 0, maka kurva akan memiliki ekor yang pendek dan puncak yang curam, menandakan data menumpuk di nilai-nilai sekitar nilai tengah. Sebaliknya, jika nilai kurtosis < 0 maka ekor kurva akan memanjang dan puncaknya melandai, yang artinya hampir seluruh nilai memiliki frekuensi atau jumlah kejadian yang serupa. Kurva yang menunjukkan baik ekor panjang maupun ekor pendek menandakan bahwa data tidak terdistribusi secara normal.
9.4 Z-Score
z-score, yang dikenal juga dengan nama skor baku, menunjukkan posisi sebuah skor dibandingkan dengan rata-rata dalam satuan standar deviasi. Dengan kata lain, z-score menyatakan posisi relatif suatu nilai (X) dalam distribusi data. z = nol berarti nilai tersebut tepat di mean, z-score negatif menandakan bahwa nilainya lebih rendah dari mean, dan z-score positif berarti nilainya di atas mean. z-score dapat dihitung dengan cara:
\[ z = \frac{X - \bar{x}}{\text{SD}} \]
Tujuan utama penggunaan z-score adalah untuk menstandarkan data, sehingga memungkinkan perbandingan antar nilai dari distribusi yang berbeda. Sebagai analogi, kita tidak bisa menilai mana yang memiliki nilai yang lebih tinggi antara nilai dua mata uang yang berbeda (misalnya, 10 Rupee India dengan 10 Baht Thailand) tanpa mengkonversinya ke dalam satuan mata uang yang sama atau standar.
Dalam hal data, dua nilai dari distribusi yang berbeda (misalnya, nilai 8 pada subtes aritmatika dan nilai 8 pada subtest logika numerikal) bisa jadi memiliki posisi yang berbeda dalam distribusi data masing-masing, sehingga tidak dapat dibandingkan secara langsung. Oleh karena itu, kedua nilai tersebut perlu ditransformasi ke z-score agar memiliki satuan yang sama untuk dapat dibandingkan.
z-score juga bermanfaat dalam mendeteksi outlier, serta dalam berbagai analisis statistik lanjutan seperti uji hipotesis dan analisis distribusi normal. Karena z-score mengubah data ke skala yang seragam, ia menjadi alat penting dalam interpretasi dan generalisasi hasil penelitian.
📊 Distribusi Data
Klik untuk menghasilkan data acak, lalu lihat kurva distribusinya dan tebak jenisnya.